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   主题：Statistics with R  第7章  | 数螺 | NAUT IDEA
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      <a href="/databee">
       <p>
        数螺
       </p>
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      <p>
       致力于数据科学的推广和知识传播
      </p>
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    </div>
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   <h1>
    主题：Statistics with R  第7章
   </h1>
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         <h1 class="entry-title">
          Statistics with R  第7章
         </h1>
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           <p>
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             COS论坛 | 统计之都
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            <span class="bbp-breadcrumb-current">
             Statistics with R  第7章
            </span>
           </p>
          </div>
          <div class="bbp-template-notice info">
           <p class="bbp-topic-description">
            该主题包含 18 条回复，12个帖子，最后由
            <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/372831/" rel="nofollow" title="查看maershenliang的档案">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/6e12d62acf669dbd459811edcf606851?s=14&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
            </a>
            <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/372831/" rel="nofollow" title="查看maershenliang的档案">
             maershenliang
            </a>
            在
            <a href="http://cos.name/cn/topic/3033/page/2/#post-339748" title="回复：Statistics with R  第7章">
             3 年, 7 月 之前
            </a>
            更新。
           </p>
          </div>
          <div class="bbp-pagination">
           <div class="bbp-pagination-count">
            查看 15 个帖子 - 1 到 15（总计 19 个）
           </div>
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            </a>
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          <ul class="forums bbp-replies" id="topic-3033-replies">
           <li class="bbp-header">
            <div class="bbp-reply-author">
             作者
            </div>
            <!-- .bbp-reply-author -->
            <div class="bbp-reply-content">
             帖子
            </div>
            <!-- .bbp-reply-content -->
           </li>
           <!-- .bbp-header -->
           <li class="bbp-body">
            <div class="bbp-reply-header" id="post-3033">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月17日 下午10:34
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-3033">
               1 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-3033 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-1 user-id-1754 topic-author post-3033 topic type-topic status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/578766bcdea055ce613a51dc290ab1c4?s=80&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               本文将逐步贴出从第7章开始以后的部分，考虑到翻译者水平有限，有错误部分请批评指正。
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-215768">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月18日 上午5:46
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-215768">
               2 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-215768 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-2 user-id-1754 topic-author post-215768 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               第7章 概率分布
               <br/>
               这一章中我们将给出最重要的几个概率分布(高斯分布、指数分布、均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布)；同时说明怎样拟合一个分布,也就是说, 如何寻找一个与给定的数据集最相近的分布，即如何寻找最合适的参数； 我们最终感兴趣的是这些分布的极值。
               <br/>
               7.1 离散型概率分布律
               <br/>
               最重要的离散型概率分布是：伯努利分布（Bernoulli）、二项分布（Binomial）和泊松分布 （Poisson）。
               <br/>
               7.1.1伯努利分布（Bernoulli）
               <br/>
               “投掷一枚硬币”等价于是考虑一个服从参数为0.5的伯努利分布随机变量，若记该硬币出现“head”的概率是p, 则它就是一个参数为p的伯努利分布.
               <br/>
               P( X=1 ) = p
               <br/>
               P( X=0 ) = 1-p
              </p>
              <p>
               在等可能（p=0.5）的条件下, 你可以使用"sample"命令去模拟：有放回或不放回（with or without replacement）抽取方式的试验，
              </p>
              <p>
               %G 600 200
               <br/>
               n &lt;- 100
               <br/>
               x &lt;- sample(c(-1,1), n, replace=T)
               <br/>
               plot(x, type='h', main="Bernoulli variables")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               n &lt;- 1000
               <br/>
               x &lt;- sample(c(-1,1), n, replace=T)
               <br/>
               plot(cumsum(x), type='l',
               <br/>
               main="Cumulated sums of Bernoulli variables")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               如果两个事件发生的概率不等, 我们仍然可用 "sample" 命令，只是多加一个语句就可以了。
              </p>
              <p>
               %G 600 200
               <br/>
               n &lt;- 100
               <br/>
               x &lt;- sample(c(-1,1), n, replace=T, prob=c(.2,.8))
               <br/>
               plot(x, type='h',
               <br/>
               main="Bernoulli variables, different probabilities")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               n &lt;- 200
               <br/>
               x &lt;- sample(c(-1,1), n, replace=T, prob=c(.2,.8))
               <br/>
               plot(cumsum(x), type='l',
               <br/>
               main="Cummulative sums of Bernoulli variables")
               <br/>
               %–
               <br/>
               但也可以不必动手编写（程序），直接用"runif"命令。
               <br/>
               %G 600 200
               <br/>
               n &lt;- 200
               <br/>
               x &lt;- runif(n)
               <br/>
               x &lt;- x&gt;.3
               <br/>
               plot(x, type='h', main="Bernoulli variables")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.1.2离散的均匀分布（Uniform discrete distribution）
              </p>
              <p>
               它是伯努利分布的一个推广:随机地从1, 2, …, n中取一个数，则可以用"sample"命令。
               <br/>
               &gt; sample(1:10, 20, replace=T)
               <br/>
               [1]  1  5  6  4  7  5  3  6  2  9 10 10  8  3 10  7  4  1  1  3
              </p>
              <p>
               7.1.3二项分布
              </p>
              <p>
               抛n次硬币，"heads"出现的次数则服从二项分布。
              </p>
              <p>
               在更一般的场合下:一个参数为(n,p)的二项分布随机变量是n 个参数为p的伯努利分布随机变量的和。
              </p>
              <p>
               我们可以做如下模拟：
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               n &lt;- 20
               <br/>
               p &lt;- .5
               <br/>
               x &lt;- rep(0,N)
               <br/>
               for (i in 1:N) {
              </p>
              <pre class="highlight ">x[i]  &lt;- sum(runif(n)&lt;p)  </pre>
              <p>
               }
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               col='light blue',
               <br/>
               main="Simulating a binomial law")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               也可以使用 "rbinom" 命令：
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 1000
               <br/>
               n &lt;- 10
               <br/>
               p &lt;- .5
               <br/>
               x &lt;- rbinom(N,n,p)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Binomial distribution, n=10, p=.5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 100000
               <br/>
               n &lt;- 100
               <br/>
               p &lt;- .5
               <br/>
               x &lt;- rbinom(N,n,p)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Binomial distribution, n=100, p=.5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               p &lt;- .9
               <br/>
               x &lt;- rbinom(N,n,p)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Binomial distribution, n=100, p=.9')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
               <br/>
               它也表示从装有一些红球和黑球的缸中有放回抽取若干个球，其中红球个数服从的分布：可以利用"sample"命令去模拟。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               n &lt;- 100
               <br/>
               p &lt;- .5
               <br/>
               x &lt;- NULL
               <br/>
               for (i in 1:N) {
               <br/>
               x &lt;- append(x, sum(sample( c(1,0), n, replace=T, prob=c(p, 1-p) )))
               <br/>
               }
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Binomial distribution, n=100, p=.5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               在生态学中也会遇到这一分布, 试着去估计一个给定物种的数量，(比如, 一个湖中的鱼数).你可以捞起一些鱼, 把他们作上记号 (with a ring — the word to google for is "ringing"), 过一段时间以后, 总体中有一部分是有记号的#ringed #(我们知道是多少条, 因为我们数过rings), 另一部分则没有. 于是我们再抓一些新的鱼, 就可以得到确定的有记号的鱼（ringed）的个数和没有记号的鱼（non-ringed）的个数:我们可以用那些数据去估计总体的数量。
              </p>
              <p>
               7.1.4 超几何分布（Hypergeometric）
               <br/>
               它表示从装有一些红球和白球的缸中不放回抽取若干个球，其中红球个数服从的分布。
              </p>
              <p>
               我们用一个具体例子来做模拟: 盒中有15个白球和5个红球，不放回抽取5个球，记下其中白球的个数。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               n &lt;- 5
               <br/>
               urn &lt;- c(rep(1,15),rep(0,5))
               <br/>
               x &lt;- NULL
               <br/>
               for (i in 1:N) {
               <br/>
               x &lt;- append(x, sum(sample( urn, n, replace=F )))
               <br/>
               }
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Hypergeometric distribution, n=20, p=.75; k=5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
               <br/>
               当然，你可以选择直接使用"rhyper"函数（它更快）。
               <br/>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               n &lt;- 5
               <br/>
               x &lt;- rhyper(N, 15, 5, 5)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Hypergeometric distribution, n=20, p=.75, k=5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               n &lt;- 5
               <br/>
               x &lt;- rhyper(N, 300, 100, 100)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Hypergeometric distribution, n=400, p=.75, k=100')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.1.5泊松分布（Poisson）
               <br/>
               可以用它表示如下事件服从的分布：单位时间内到达某场所(商店、银行、公共服务机构)的顾客数、一篇文章中的排印错误个数、每秒中放射性分裂出的质点数、或者任何“罕见”事件发生的次数(事实上, 泊松分布是二项分布的极限形式)。
              </p>
              <p>
               更一般地,它是满足以下条件的概率分布: (1)“平稳性/齐次性”，即被观测事件 (这里, "事件"可以是: "一个新的顾客到来", "有一个新的放射分裂", "一个排印错误", 等等) 在一个“小”区间内发生的概率跟区间的长度成比例 (特别地, 它不依赖于时间轴上该区间的位置)；(2)“独立增量性”，即在任意两个互不相交的时间区间内发生的事件相互独立；(3) “普通性”，即多个事件不可能同时（同一时间瞬间）发生。
               <br/>
               这也被称为“泊松过程”。
               <br/>
               可以证明，下式唯一定义一个概率分布（泊松分布）：
              </p>
              <p>
               这里， 是单位时间里事件发生的平均次数。
               <br/>
               可以用"rpois"函数模拟这个分布。
               <br/>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rpois(N, 1)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Poisson distribution, lambda=1')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rpois(N, 3)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Poisson distribution, lambda=3')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rpois(N, 5)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Poisson distribution, lambda=5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rpois(N, 20)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Poisson distribution, lambda=20')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.1.6 几何分布（Geometric）
               <br/>
               它表示在不断进行的伯努利试验中，直到首次成功出现的所需要的试验次数服从的分布。例如：我们感兴趣的是1的出现，如果我们得到
               <br/>
               0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0
               <br/>
               那么, 我们在一次成功(第四个元素是"1")之前做了三次试验 (0 0 0,最前端的三个)。
              </p>
              <p>
               可以自己编程实现：
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               my.rgeom &lt;- function (N, p) {
               <br/>
               bernoulli &lt;- sample( c(0,1), N, replace=T, prob=c(1-p, p) )
               <br/>
               diff(c(0, which(bernoulli == 1))) – 1
               <br/>
               }
               <br/>
               hist( my.rgeom(10000, .5), col="light blue",
               <br/>
               main="Geometric distribution" )
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               用"rgeom" 命令会更容易：
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rgeom(N, .5)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Geometric distribution, p=.5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rgeom(N, .1)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Geometric distribution, p=.1')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rgeom(N, .01)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=20,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Geometric distribution, p=.01')
               <br/>
               lines(density(x), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.1.7 负二项分布（Negative binomial）
               <br/>
               它表示在不断进行的伯努利试验中，直到出现k次成功所经历的失败次数服从的分布。
               <br/>
               可以自己编程(留给读者练习)，但使用"rnbinom" 函数更简单。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 100000
               <br/>
               x &lt;- rnbinom(N, 10, .25)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='Negative binomial distribution, n=10, p=.25')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rnbinom(N, 10, .5)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='negative binomial distribution, n=10, p=.5')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 10000
               <br/>
               x &lt;- rnbinom(N, 10, .75)
               <br/>
               hist(x,
               <br/>
               xlim=c(min(x),max(x)), probability=T, nclass=max(x)-min(x)+1,
               <br/>
               col='lightblue',
               <br/>
               main='negative binomial distribution, n=10, p=.75')
               <br/>
               lines(density(x,bw=1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.1.8 多项分布（Multinomial）
               <br/>
               它跟二项分布类似，只是此时事件有多种可能的输出结果，（二项分布中的事件在每次试验中只有两个可能出现的结果，要么“发生”要么“不发生”）。
              </p>
              <p>
               P( (X1,X2,…,Xn)=(k1,k2,…,kn) ) = m! p1^k1 … pn^kn / (k1! … kn!)
               <br/>
               我们仍用"sample"函数去模拟，处理如下：
               <br/>
               n &lt;- 5
               <br/>
               N &lt;- 100
               <br/>
               p &lt;- c(.2,.5,.1,.1,.1)
               <br/>
               x &lt;- factor(sample(1:n, N, replace=T, prob=p), levels=1:n)
               <br/>
               table(x)
              </p>
              <p>
               我们得到:
              </p>
              <p>
               x
               <br/>
               1  2  3  4  5
               <br/>
               19 47 13  7 14
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-215859">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月19日 上午9:13
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-215859">
               3 楼
              </a>
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              </span>
             </div>
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            </div>
            <!-- #post-215859 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-3 user-id-3419 post-215859 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/3419/" rel="nofollow" title="查看alexru的档案">
               alexru
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               支持
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-215957">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月20日 上午7:26
              </span>
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               4 楼
              </a>
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             </div>
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            </div>
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            <div class="even bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-4 user-id-1754 topic-author post-215957 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               7.2 连续的概率分布
               <br/>
               最重要的连续型概率分布是：高斯分布、指数分布和均匀分布。
              </p>
              <p>
               7.2.1 均匀分布
              </p>
              <p>
               这里, "均匀" 意思是 "均匀地分布在一个给定的区间"。当我们想在[0，1]区间上随机取一个数时，这就是均匀分布（我们知道，这个数落入任何一个区间的概率只跟区间的长度有关）。
              </p>
              <p>
               利用 "runif" 函数模拟([0,1]区间上的)均匀分布：
              </p>
              <p>
               &gt; round(runif(20), digits=4)
               <br/>
               [1] 0.6187 0.4653 0.0806 0.5425 0.4418 0.4485 0.4685 0.4461 0.9195 0.6127
               <br/>
               [11] 0.9132 0.8607 0.1341 0.3795 0.8608 0.9100 0.1545 0.7401 0.2990 0.8714
              </p>
              <p>
               7.2.2指数（Expenential）分布
               <br/>
               它跟泊松分布很相似，事实上，泊松过程中相临两个事件发生的时间间隔(直观地:两次罕见事件发生的时间间隔)服从指数分布，例如：发生两次放射性分裂的时间间隔。
               <br/>
               %G
               <br/>
               curve(dexp(x), xlim=c(0,10), col='red', lwd=3,
               <br/>
               main='Exponential Probability Distribution Function')
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               n &lt;- 1000
               <br/>
               x &lt;- rexp(n)
               <br/>
               hist(x, probability=T,
               <br/>
               col='light blue', main='Exponential Distribution')
               <br/>
               lines(density(x), col='red', lwd=3)
               <br/>
               curve(dexp(x), xlim=c(0,10), col='red', lwd=3, lty=2,
               <br/>
               add=T)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.3高斯分布（Gaussian）
               <br/>
               它是著名的“钟形”（"bell-shaped"）分布
               <br/>
               更准确地说, 中心极限定理阐明：如果 X1, X2,… Xn 是独立同分布的随机变量，期望是m ，方差是s^2, 则下述标准化和当n趋近与正无穷的时候渐进高斯分布。
               <br/>
               (X1+X2+…+Xn) – nm
               <br/>
               ———————
               <br/>
               sqrt(n) s
              </p>
              <p>
               换句话说, 样本均值（经验平均值）
              </p>
              <p>
               X1+…Xn
               <br/>
               ——–
               <br/>
               n
               <br/>
               “近似”服从期望是m，标准差是s/sqrt(n)的高斯分布。
               <br/>
               这就解释了高斯定律的普遍性：当你做大量重复的试验时，平均结果（几乎）总是服从高斯分布。
               <br/>
               %G
               <br/>
               limite.centrale &lt;- function (r=runif, m=.5, s=1/sqrt(12), n=c(1,3,10,30), N=1000) {
               <br/>
               for (i in n) {
               <br/>
               x &lt;- matrix(r(i*N),nc=i)
               <br/>
               x &lt;- ( apply(x, 1, sum) – i*m )/(sqrt(i)*s)
               <br/>
               hist(x, col='light blue', probability=T, main=paste("n =",i),
               <br/>
               ylim=c(0,max(.4, density(x)$y)))
               <br/>
               lines(density(x), col='red', lwd=3)
               <br/>
               curve(dnorm(x), col='blue', lwd=3, lty=3, add=T)
               <br/>
               if( N&gt;100 ) {
               <br/>
               rug(sample(x,100))
               <br/>
               } else {
               <br/>
               rug(x)
               <br/>
               }
               <br/>
               }
               <br/>
               }
               <br/>
               op &lt;- par(mfrow=c(2,2))
               <br/>
               limite.centrale()
               <br/>
               par(op)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               op &lt;- par(mfrow=c(2,2))
               <br/>
               limite.centrale(rexp, m=1, s=1)
               <br/>
               par(op)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               op &lt;- par(mfrow=c(2,2))
               <br/>
               limite.centrale(rexp, m=1, s=1)
               <br/>
               par(op)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               op &lt;- par(mfrow=c(2,2))
               <br/>
               limite.centrale(function (n) { rnorm(n, sample(c(-3,3),n,replace=T)) },
               <br/>
               m=0, s=sqrt(10), n=c(1,2,3,10))
               <br/>
               par(op)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               练习: 推导一个跟上面例子相似的概率密度，画出它的图形。
               <br/>
               有经验的读者都知道, 高斯分布的密度函数是：
              </p>
              <p>
               f(x) = exp( -x^2/2 ) / sqrt( 2 pi )
              </p>
              <p>
               在 R中:
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(dnorm(x), xlim=c(-3,3), col='red', lwd=3)
               <br/>
               title(main='Gaussian Probability Distribution Function')
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               累积密度 (也就是,密度的积分)是:
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(pnorm(x), xlim=c(-3,3), col='red', lwd=3)
               <br/>
               title(main='Cumulative gaussian distribution function')
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               分位数 (也就是,累积密度的反函数):
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(qnorm(x), xlim=c(0,1), col='red', lwd=3)
               <br/>
               title(main='Gaussian quantiles function')
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               当然，我们有 "rnorm" 函数可用：
               <br/>
               %G
               <br/>
               n &lt;- 1000
               <br/>
               x &lt;- rnorm(n)
               <br/>
               hist(x, probability=T, col='light blue', main='Gaussian Distribution')
               <br/>
               lines(density(x), col='red', lwd=3)
               <br/>
               curve(dnorm(x), add=T, col='red', lty=2, lwd=3)
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('sample density', 'theoretical density'),
               <br/>
               lwd=2, lty=c(1,2),
               <br/>
               col='red')
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               在上面的讨论中, 我们假设均值mu=0 ，标准差sigma=1 (标准高斯分布): 为了得到一般的结果, 我们可以做如下变换：
               <br/>
               f(x) = exp( -( (x-mu) / sigma )^2 /2 ) / sqrt( 2 pi sigma )
              </p>
              <p>
               高斯分布也被叫做正态（"normal"）分布——我将避免这个词，因为在一些情形下，我们想要去观察的分布（我们喜欢把它叫做“正态”）并不是高斯的。
              </p>
              <p>
               7.2.4 自由度为1的卡方分布（Chi2）
               <br/>
               如果随机变量X 服从标准高斯分布，则X^2服从的就是自由度为1的卡方分布
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(dchisq(x,1), xlim=c(0,5), col='red', lwd=3)
               <br/>
               abline(h=0,lty=3)
               <br/>
               abline(v=0,lty=3)
               <br/>
               title(main="Chi2, one degree of freedom")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.5自由度为n的卡方分布（Chi2）
               <br/>
               假设X1, X2, …, Xn 是独立的服从标准高斯分布的随机变量，则X1^2+…+Xn^2服从自由度为n的卡方分布。
              </p>
              <p>
               在统计学中会遇到该分布, 当我们在做一些需要总体方差的计算时，因为不知道这个方差，我们都是用样本的方差去代替。在解决估计和统计检验问题时，我们会做进一步讨论。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(dchisq(x,1), xlim=c(0,10), ylim=c(0,.6), col='red', lwd=3)
               <br/>
               curve(dchisq(x,2), add=T, col='green', lwd=3)
               <br/>
               curve(dchisq(x,3), add=T, col='blue', lwd=3)
               <br/>
               curve(dchisq(x,5), add=T, col='orange', lwd=3)
               <br/>
               abline(h=0,lty=3)
               <br/>
               abline(v=0,lty=3)
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('df=1', 'df=2', 'df=3', 'df=5'),
               <br/>
               lwd=3,
               <br/>
               lty=1,
               <br/>
               col=c('red', 'green', 'blue', 'orange')
               <br/>
               )
               <br/>
               title(main='Chi^2 Distributions')
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.6 T分布（Student's T）
              </p>
              <p>
               假设随机变量X1, X2, X3,…独立同分布于高斯分布，期望是mu ，标准差是sigma, 则（标准化和）
              </p>
              <p>
               X1 + X2 + … + Xn
               <br/>
               ——————–  –  mu
               <br/>
               n
               <br/>
               —————————–
               <br/>
               sigma
               <br/>
               ———
               <br/>
               sqrt(n)
              </p>
              <p>
               满足高斯定律. 但是如果我们将总体的标准差用样本的标准差代替 (也就是,总体标准差的一个估计量), 上式就不再是高斯分布，而是一个自由度为（n-1）的T分布了。
               <br/>
               %G
               <br/>
               curve( dt(x,1), xlim=c(-3,3), ylim=c(0,.4), col='red', lwd=2 )
               <br/>
               curve( dt(x,2), add=T, col='blue', lwd=2 )
               <br/>
               curve( dt(x,5), add=T, col='green', lwd=2 )
               <br/>
               curve( dt(x,10), add=T, col='orange', lwd=2 )
               <br/>
               curve( dnorm(x), add=T, lwd=3, lty=3 )
               <br/>
               title(main="Student T distributions")
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('df=1', 'df=2', 'df=5', 'df=10', 'Gaussian distribution'),
               <br/>
               lwd=c(2,2,2,2,2),
               <br/>
               lty=c(1,1,1,1,3),
               <br/>
               col=c('red', 'blue', 'green', 'orange', par("fg")))
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.7 F分布（Fisher's F）
              </p>
              <p>
               I如果X1, X2, … Xn 和 Y1, Y2,… Ym 都是独立同分布的高斯分布随机变量, 则
              </p>
              <p>
               X1^2 + X2^2 + … + Xn^2
               <br/>
               ————————–
               <br/>
               n
               <br/>
               —————————-
               <br/>
               Y1^2 + Y2^2 + … + Ym^2
               <br/>
               ————————–
               <br/>
               m
              </p>
              <p>
               服从F分布, 自由度为n 和 m。可见，它是两个独立的卡方分布变量比上各自的自由度以后，再作商，商的分布就是（F分布）。
              </p>
              <p>
               当我们做方差比较时会遇到这个分布。(例如：Anova (方差分析) 或统计检验).
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(df(x,1,1), xlim=c(0,2), ylim=c(0,.8), lty=2)
               <br/>
               curve(df(x,3,1), add=T)
               <br/>
               curve(df(x,6,1), add=T, lwd=3)
               <br/>
               curve(df(x,3,3), add=T, col='red')
               <br/>
               curve(df(x,6,3), add=T, lwd=3, col='red')
               <br/>
               curve(df(x,3,6), add=T, col='blue')
               <br/>
               curve(df(x,6,6), add=T, lwd=3, col='blue')
               <br/>
               title(main="Fisher's F")
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('df=(1,1)', 'df=(3,1)', 'df=(6,1)',
               <br/>
               'df=(3,3)', 'df=(6,3)',
               <br/>
               'df=(3,6)', 'df=(6,6)'),
               <br/>
               lwd=c(1,1,3,1,3,1,3),
               <br/>
               lty=c(2,1,1,1,1,1,1),
               <br/>
               col=c(par("fg"), par("fg"), par("fg"), 'red', 'red', 'blue', 'blue'))
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.8对数正态
               <br/>
               通常，在现实世界中我们遇到的大多数变量都具有正值：它不可能是一个真的高斯变量——我们知道我们的变量不是高斯的。反过来，我们可以看看通过对数变换后是否服从高斯，换句话说，我们的变量是否是高斯变量的指数函数，（如果是，则它就是对数正态）。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(dlnorm(x), xlim=c(-.2,5), lwd=3,
               <br/>
               main="Log-normal distribution")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.9 柯西分布（Cauchy）
               <br/>
               它是一个疾病传播分布的例子：它的方差是无穷大。有时也叫做弓箭手（bowman's）分布：一个蒙上眼睛的射手，在一面无穷的墙壁之前向任意方向射箭，箭击中墙的分布就是一个柯西分布。
               <br/>
               它也是自由度为1的T分布的极限情况。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(dcauchy(x),xlim=c(-5,5), ylim=c(0,.5), lwd=3)
               <br/>
               curve(dnorm(x), add=T, col='red', lty=2)
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('Cauchy distribution', 'Gaussian distribution'),
               <br/>
               lwd=c(3,1),
               <br/>
               lty=c(1,2),
               <br/>
               col=c(par("fg"), 'red'))
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               柯西分布（和高斯分布一起）属于“稳定分布”族（也被称为“莱维Levy分布族或Levy稳定分布族” ）: 这意味着是柯西变量的和仍然是柯西变量。因此，在自然现象中，人们时常期望可以找到柯西分布，或者更一般的稳定分布。
               <br/>
               （待续）
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
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               2006年12月20日 上午9:43
              </span>
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               5 楼
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              </a>
              <br/>
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               firesky27
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              <br/>
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             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               我来支持！！！
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
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               2006年12月21日 上午12:45
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               6 楼
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              <br/>
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               y.luo
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             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               大力支持！
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
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               2006年12月22日 上午8:07
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               7 楼
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              </a>
              <br/>
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               dagga
              </a>
              <br/>
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             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               赞一个
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-216183">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月22日 下午12:27
              </span>
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               8 楼
              </a>
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            <!-- #post-216183 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-8 user-id-1754 topic-author post-216183 reply type-reply status-publish hentry">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
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              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               谢谢各位支持，我会继续努力。
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-216184">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月22日 下午12:28
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-216184">
               9 楼
              </a>
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             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-216184 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-9 user-id-1754 topic-author post-216184 reply type-reply status-publish hentry">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               7.2.10 威布尔分布（Weibull）
               <br/>
               威布尔分布是指数分布的一个推广，此时“失效率”（正确的说法是“危险率”——在生存分析中会经常遇到）不是一个常量。用它来模型化某个机器生存时间（没有失败的时间）。（这里“失效率”就是随着机器使用年代的增加，出现问题的概率。）
               <br/>
               密度函数的形式为：exp(-a t^b).
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               curve(dexp(x), xlim=c(0,3), ylim=c(0,2))
               <br/>
               curve(dweibull(x,1), lty=3, lwd=3, add=T)
               <br/>
               curve(dweibull(x,2), col='red', add=T)
               <br/>
               curve(dweibull(x,.8), col='blue', add=T)
               <br/>
               title(main="Weibull Probability Distribution Function")
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('Exponential', 'Weibull, shape=1',
               <br/>
               'Weibull, shape=2', 'Weibull, shape=.8'),
               <br/>
               lwd=c(1,3,1,1),
               <br/>
               lty=c(1,3,1,1),
               <br/>
               col=c(par("fg"), par("fg"), 'red', 'blue'))
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               7.2.11伽玛分布（ Gamma ）
               <br/>
               它是独立的指数分布随机变量的和，也是指数分布的推广，通常用来描述生存时间（例如，一个可靠机器（的生存时间），如果遇到三个连续的问题就被程序化停止，那么每一个问题（出现的时间）都可以用指数分布律来描述）。
               <br/>
               泊松过程中到达时间的分布就是伽玛分布。
               <br/>
               %G
               <br/>
               curve( dgamma(x,1,1), xlim=c(0,5) )
               <br/>
               curve( dgamma(x,2,1), add=T, col='red' )
               <br/>
               curve( dgamma(x,3,1), add=T, col='green' )
               <br/>
               curve( dgamma(x,4,1), add=T, col='blue' )
               <br/>
               curve( dgamma(x,5,1), add=T, col='orange' )
               <br/>
               title(main="Gamma probability distribution function")
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('k=1 (Exponential distribution)', 'k=2', 'k=3', 'k=4', 'k=5'),
               <br/>
               lwd=1, lty=1,
               <br/>
               col=c(par('fg'), 'red', 'green', 'blue', 'orange') )
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               n &lt;- 500
               <br/>
               x1 &lt;- rexp(n,17)
               <br/>
               x2 &lt;- rexp(n,17)
               <br/>
               x3 &lt;- rexp(n,17)
               <br/>
               x &lt;- x1 + x2 + x3
               <br/>
               # Simpler, but less readable:
               <br/>
               # k &lt;- 3
               <br/>
               # x &lt;- drop(apply( matrix( rexp(n*k,17), nr=n, nc=k ), 1, sum))
               <br/>
               y &lt;- qgamma(ppoints(n),3,17)
               <br/>
               plot( sort(x) ~ sort(y), log='xy' )
               <br/>
               abline(0,1, col='red')
               <br/>
               title("Comparision: gamma distribution and sum of exponential r.v.")
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               可以参考:
              </p>
              <p>
               <a class="d4pbbc-url" href="http://www.math.uah.edu/statold/special/special3.html" rel="nofollow" target="_blank">
                http://www.math.uah.edu/statold/special/special3.html
               </a>
              </p>
              <p>
               7.2.12 Beta 分布
               <br/>
               在许多参考书上都可以看到这个定义（不太具有启发性，稍后我将给出更直观的定义）：
               <br/>
               如果X和T 是独立的随机变量，分别服从参数为(a,r)和(b,r)的Gamma分布, 则X/(X+Y)服从参数为(a,b)的Beta分布。
               <br/>
               %G
               <br/>
               curve( dbeta(x,1,1), xlim=c(0,1), ylim=c(0,4) )
               <br/>
               curve( dbeta(x,2,1), add=T, col='red' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,3,1), add=T, col='green' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,4,1), add=T, col='blue' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,2,2), add=T, lty=2, lwd=2, col='red' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,3,2), add=T, lty=2, lwd=2, col='green' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,4,2), add=T, lty=2, lwd=2, col='blue' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,2,3), add=T, lty=3, lwd=3, col='red' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,3,3), add=T, lty=3, lwd=3, col='green' )
               <br/>
               curve( dbeta(x,4,3), add=T, lty=3, lwd=3, col='blue' )
               <br/>
               title(main="Beta distribution")
               <br/>
               legend(par('usr')[1], par('usr')[4], xjust=0,
               <br/>
               c('(1,1)', '(2,1)', '(3,1)', '(4,1)',
               <br/>
               '(2,2)', '(3,2)', '(4,2)',
               <br/>
               '(2,3)', '(3,3)', '(4,3)' ),
               <br/>
               lwd=1, #c(1,1,1,1, 2,2,2, 3,3,3),
               <br/>
               lty=c(1,1,1,1, 2,2,2, 3,3,3),
               <br/>
               col=c(par('fg'), 'red', 'green', 'blue',
               <br/>
               'red', 'green', 'blue',
               <br/>
               'red', 'green', 'blue' ))
               <br/>
               %–
               <br/>
               如果X1,X2,…,Xn是独立的随机变量，服从均匀分布U(0,1)，则 max(X1,X2,…,Xn)服从参数为(n,1)的beta分布。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 500
               <br/>
               n &lt;- 5
               <br/>
               y &lt;- drop(apply( matrix( runif(n*N), nr=N, nc=n), 1, max ))
               <br/>
               x &lt;- qbeta(ppoints(N), n, 1)
               <br/>
               plot( sort(y) ~ x )
               <br/>
               abline(0,1, col='red')
               <br/>
               title("Order statistic and Beta distribution")
               <br/>
               %–
               <br/>
               其它的次序统计量（X1,X2,…,Xn中第k大元素）也服从beta分布（参数不同而已）。
              </p>
              <p>
               %G
               <br/>
               N &lt;- 500
               <br/>
               n &lt;- 5
               <br/>
               k &lt;- 3
               <br/>
               y &lt;- drop(apply( matrix( runif(n*N), nr=n, nc=N), 2, sort )[n-k,])
               <br/>
               x &lt;- qbeta(ppoints(N), n-k, k+1) # Exercice: Where do those
               <br/>
               # coefficients come from?
               <br/>
               plot( sort(y) ~ x )
               <br/>
               abline(0,1, col='red')
               <br/>
               title("Order statistics and Beta distribution")
               <br/>
               %–
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-216552">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月26日 上午6:16
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-216552">
               10 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-216552 -->
            <div class="even bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-10 user-id-1754 topic-author post-216552 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/578766bcdea055ce613a51dc290ab1c4?s=80&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               %G
               <br/>
               # I admit it: I found the coefficients above by trial-and-error…
               <br/>
               op &lt;- par(mfrow=c(5,5), mar=c(0,0,0,0) )
               <br/>
               for (i in 1:5) {
               <br/>
               for (j in 1:5) {
               <br/>
               plot( sort(y) ~ qbeta(ppoints(N), j, i), xlab='', ylab='', axes=F )
               <br/>
               abline(0,1, col='red')
               <br/>
               box()
               <br/>
               text( (par('usr')[1]+par('usr')[2])/2,
               <br/>
               (par('usr')[3]+par('usr')[4])/2,
               <br/>
               paste(j,i),
               <br/>
               cex=3, col='blue' )
               <br/>
               }
               <br/>
               }
               <br/>
               par(op)
               <br/>
               %–
              </p>
              <p>
               可以参见:
               <br/>
               <a class="d4pbbc-url" href="http://www.math.uah.edu/statold/special/special9.html" rel="nofollow" target="_blank">
                http://www.math.uah.edu/statold/special/special9.html
               </a>
               <br/>
               关于Beta分布的另一个启发来自于贝叶斯，“贝叶斯”思想是：如果我们感兴趣的是某些参数（比如说，抛一枚硬币时出现“背面”的概率），我们并不想得到单个的具体值——相信它是错的——我们更想得到的是整体的分布，例如，“出现“背面”的概率看起来服从一个均值0.4、标准差0.1的高斯分布”（这里，你应该站起来大声说：不可能是高斯分布，肯定是取值于[0,1]的某个分布！)
               <br/>
               让我们抛一枚硬币，尝试寻找“背面”出现的概率，我们不知道任何关于这个概率的先验信息。如果想给这个概率赋值，可以是“0.5”， 但是用一个分布来描述更准确：“先验概率”用[0,1]上的均匀分布来描述(只知道这个概率取值于[0,1])。意思是：我们什么也不知道，没有任何信息可以为这个概率提供参考， 如果我们抛硬币10次，出现7次背面3次正面，我们就有更多的信息，并且我们可以更新关于p的概率分布，它跟下式成比例：
               <br/>
               p^7 * (1-p)^3.
               <br/>
               这就是参数为(8,4)的beta分布。
               <br/>
               %G
               <br/>
               curve(dbeta(x,8,4),xlim=c(0,1))
               <br/>
               title(main="posterior distrobution of p")
               <br/>
               %–
               <br/>
               用两步来完成这个试验：以一个均匀分布的先验信息开始，抛一些硬币，可以得到一个beta分布的后验信息。如果你再抛更多的硬币，你可以修正这个beta分布为另一个beta分布（第一次抛硬币得到的后验beta是第二次抛掷的先验信息）。所以，人们在使用贝叶斯方法估计概率（或任何有界量）时，经常使用beta分布作为先验分布。
               <br/>
               更简单直观地说，人们可以用beta分布来模拟区间 [0,1]上的单峰的、或多或少不对称的连续分布,作为一个结论，你可以用这个分布模拟任何有界的量。
               <br/>
               %G
               <br/>
               curve(dbeta(x,10,10), xlim=c(0,1), lwd=3)
               <br/>
               curve(dbeta(x,1,1), add=T, col='red', lwd=3)
               <br/>
               curve(dbeta(x,2,2), add=T, col='green', lwd=3)
               <br/>
               curve(dbeta(x,5,2), add=T, col='blue',lwd=3)
               <br/>
               curve(dbeta(x,.1,.5), add=T, col='orange')
               <br/>
               legend(par('usr')[2], par('usr')[4], xjust=1,
               <br/>
               c('B(10,10)', 'B(1,1)', 'B(2,2)', 'B(5,2)', 'B(.1,.5)'),
               <br/>
               lwd=c(3,3,3,3,1), lty=1,
               <br/>
               col=c(par('fg'),'red','green','blue','orange'))
               <br/>
               title("A few beta probability distributions")
               <br/>
               %–
               <br/>
               Beta分布另一种表现形式是：“仅仅”极大似然，而没有其它贝叶斯思想。条件是相同的：抛一枚硬币，观察出现哪个面。假设出现“背面”的概率是p，如果我们得到7次背面3次正面，可以把7看作是参数为 (10,p)的二项分布随机变量的值，在给定p的条件下，观察到7次背面3次正面的概率是(与下式有关)
               <br/>
               L(p) = p^7 * (1-p)^3.
               <br/>
               这个概率叫做"likelihood"似然 (更一般地, 参数p的似然"likelihood" 是给定p的条件下实际观察结果出现的概率 ——它是p的函数，通常用它来计算“最合适的p值”，也就是，p的极大似然估计值)。与前面类似，它跟Beta分布的密度函数成比例。
               <br/>
               我们说二项分布和beta分布具有密切关系：通过限制参数和变量的作用，他们的密度函数具有相同的形式。
              </p>
              <p>
               7.2.13狄利克莱分布 ( Dirichlet distribution )
               <br/>
               它是Beta分布在多维情况下的推广，广泛采用了贝叶斯模型：Beta分布可以用来模型化参数为p的二项分布随机变量；类似的，狄利克莱分布可以用来模型化参数为多个概率的多项分布。
              </p>
              <p>
               library(gtools)
               <br/>
               ?rdirichlet
              </p>
              <p>
               library(bayesm)
               <br/>
               ?rdirichlet
              </p>
              <p>
               library(MCMCpack)
               <br/>
               ?Dirichlet
              </p>
              <p>
               TODO
               <br/>
               如果 X1,…,Xn 是独立的服从Gamma 分布的（随机变量），则
               <br/>
               (X1,…,Xn)/(X1+…+Xn) 服从Beta 分布。
              </p>
              <p>
               7.2.14指数分布族（Exponential distributions）
               <br/>
               这里讲到的大多数分布都属于指数分布族——他们在一些理论结果中起着非常重要的作用，但是他们的定义不是那么容易理解的：
              </p>
              <p>
               f(y, theta,phi) = exp {  [y theta – v(theta)]/u(phi)    +   w(y,phi)   }
               <br/>
               <br/>
               TODO: Explain?
               <br/>
               No.
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-216553">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2006年12月26日 上午6:35
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-216553">
               11 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
              </span>
             </div>
             <!-- .bbp-meta -->
            </div>
            <!-- #post-216553 -->
            <div class="odd bbp-parent-forum-999 bbp-parent-topic-3033 bbp-reply-position-11 user-id-1754 topic-author post-216553 reply type-reply status-publish hentry">
             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/1754/" rel="nofollow" title="查看ilikemath的档案">
               ilikemath
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               每个分布都配有精彩的图片，大家可以去看原文
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-217662">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2007年1月10日 上午1:11
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-217662">
               12 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
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             </div>
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             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/5828/" rel="nofollow" title="查看wumaths的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/5828/" rel="nofollow" title="查看wumaths的档案">
               wumaths
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              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
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             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               喜欢这段Beta分布的解释。不错
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
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             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2007年3月22日 上午2:20
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-220959">
               13 楼
              </a>
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             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/9355/" rel="nofollow" title="查看biogene的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/9355/" rel="nofollow" title="查看biogene的档案">
               biogene
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
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             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               太感谢了，牛人啊！
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
            <div class="bbp-reply-header" id="post-222177">
             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2007年4月6日 上午4:09
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-222177">
               14 楼
              </a>
              <span class="bbp-admin-links">
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             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/11167/" rel="nofollow" title="查看distar的档案">
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              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/11167/" rel="nofollow" title="查看distar的档案">
               distar
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               厉害！
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
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             <div class="bbp-meta">
              <span class="bbp-reply-post-date">
               2007年4月6日 上午5:33
              </span>
              <a class="bbp-reply-permalink" href="http://cos.name/cn/topic/3033/#post-222188">
               15 楼
              </a>
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             <div class="bbp-reply-author">
              <a class="bbp-author-avatar" href="http://cos.name/cn/profile/11167/" rel="nofollow" title="查看distar的档案">
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              </a>
              <br/>
              <a class="bbp-author-name" href="http://cos.name/cn/profile/11167/" rel="nofollow" title="查看distar的档案">
               distar
              </a>
              <br/>
              <div class="bbp-author-role">
               普通会员
              </div>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-author -->
             <div class="bbp-reply-content">
              <p>
               有谁有翻译 第7章 之前的吗 ？
               <br/>
               这本书太棒了！
              </p>
             </div>
             <!-- .bbp-reply-content -->
            </div>
            <!-- .reply -->
           </li>
           <!-- .bbp-body -->
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            <div class="bbp-reply-author">
             作者
            </div>
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             帖子
            </div>
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           </li>
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           <div class="bbp-template-notice">
            <p>
             您必须先登录才能回复该主题。
            </p>
           </div>
          </div>
         </div>
        </div>
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